Как вычислить определенный интеграл пример

Объём тела вращения с помощью интеграла. Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла При этом употребляется запись Как видно на графиках внизу приращение первообразной функции обозначено , определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т.

Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю , то есть Это свойство содержится в самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница: Пусть F x — первообразная для f x.

Для f t первообразной служит та же функция F t , в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям , то есть если.

Чтобы найти новые пределы, нужно в уравнение. После нахождения новых пределов интегрирования вычисление определённого интеграла сводится к применению формулы Ньютона-Лейбница к интегралу от новой переменной t. В первообразной функции, которая получается в результате нахождения интеграла, возвращаться к старой переменной нет необходимости. При вычислении определённого интеграла методом замены переменной часто бывает удобно выражать не старую переменную как функцию новой, а, наоборот, новую — как функцию старой.

Вычислить определённый интеграл Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл: Следовательно, На основании формулы 39 последнее равенство означает равенство интегралов и. Вычислить определённый интеграл Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных — табличные интегралы 7 и 6 , получим.

Как видно на графиках внизу приращение первообразной функции обозначено , определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [ a , b ] — отрезком интегрирования. Таким образом, если F x — какая-нибудь первообразная функция для f x , то, согласно определению,. Равенство 38 называется формулой Ньютона-Лейбница.

Проинтегрировав его в пределах от a до b и учитывая теорему 4 параграфа этой статьи о свойствах определённого интеграла, получим Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования. По формуле 49 находим Проверить решение можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн В полученную в результате вычисления первообразную подставьте сначала значение верхнего предела, затем значение нижнего предела и найдите разницу.

Используя формулу получим Проверить решение можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн В полученную в результате вычисления первообразную подставьте сначала значение верхнего предела, затем значение нижнего предела и найдите разницу. Свойства определённого интеграла Теорема 1. Следовательно, На основании формулы 39 последнее равенство означает равенство интегралов и Теорема 3. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна положительна , то и определённый интеграл неотрицателен положителен , то есть если Теорема 9.

Нет времени вникать в решение? Метод замены переменной в неопределённом интеграле. Интегрирование подведением под знак дифференциала. Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Площадь плоской фигуры с помощью интеграла.

Определённым интегралом от непрерывной функции f x на конечном отрезке [ a , b ] где называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла При этом употребляется запись.

Вычислить определённый интеграл Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных — табличные интегралы 7 и 6 , получим Проверить решение можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн В полученную в результате вычисления первообразную подставьте сначала значение верхнего предела, затем значение нижнего предела и найдите разницу. Действительно, дифференцируя Ф х , получим так как F x — первообразная для f x , а F a — постояная величина.

Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Записав эту разность кратко в виде.

Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Тем самым установлено, что на отрезке [ a , b ] приращения всех первообразных функции f x совпадают. Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, то есть сначала следует найти неопределённый интеграл.

Найдём новые пределы интегрирования. После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной. Определённый интеграл и методы его вычисления.

По формуле 49 находим. Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной. В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции, равна. Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F b — F a есть. Это и есть формула перехода к новой переменной под знаком определённого интеграла. С её помощью определённый интеграл. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются новыми пределами и.

Перейдём к вычислению определённого интеграла методом замены переменной. Пусть где, по определению, F x — первообразная для f x. С её помощью определённый интеграл после замены переменной преобразуется в определённый интеграл относительно новой переменной t.

Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство. Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов. Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных — табличные интегралы 7 и 6 , получим. Пусть f x — непрерывная на отрезке [ a , b ] функция, а F x — её первообразная. Действительно, дифференцируя Ф х , получим. Проинтегрировав его в пределах от a до b и учитывая теорему 4 параграфа этой статьи о свойствах определённого интеграла, получим.

Разность F b — F a кратко записывают так: Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так: Поэтому Тем самым установлено, что на отрезке [ a , b ] приращения всех первообразных функции f x совпадают.

Разность F b — F a кратко записывают так:. Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F x и Ф х — произвольные первообразные подынтегральной функции.

Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: Полученное число и будет определённым интегралом. Для того чтобы потренироваться в нахождении определённых интегралов, потребуется таблица основных неопределённых интегралов и пособие " Действия со степенями и корнями ". Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде Проверить решение можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн В полученную в результате вычисления первообразную подставьте сначала значение верхнего предела, затем значение нижнего предела и найдите разницу.

Теорема 7 теорема о среднем. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна положительна , то и определённый интеграл неотрицателен положителен , то есть если.